Die Analysis im Wandel und im Widerstreit

Detlef D. Spalt

doi:10.5771/9783495807859

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Copyright year: 2016
ISBN-Print: 978-3-495-48740-2
ISBN-Online: 978-3-495-80785-9
Publisher: Karl Alber, Baden-Baden
Language: German
Pages: 762
Product type: Book Titles

Titelei/Inhaltsverzeichnis No access Pages i - xviii
Einleitung No access Pages xix - xxviii
1. 1. Die geläufige Version No access
  2. Die tatsächliche Formulierung No access
2. Descartes' mathematische Großtat No access
3. 1. Das Ausgangsproblem No access
  2. Die »Regulae«: Rechnen mit Figuren No access
  3. Die Leistungsfähigkeit des menschlichen Denkens No access
  4. Descartes' Vorgehensweise No access
  5. Was sind Figuren, und wie soll mit ihnen verfahren werden? No access
  6. Descartes' Zielsetzung No access
4. 1. Die grundlegenden Konstruktionen No access
  2. Reflexion 1 No access
  3. Die bahnbrechende Erfindung No access
  4. Die Erfindung der rein formalen Gleichung No access
  5. Reflexion 2 No access
  6. Die Rückbindung der algebraisch gefundenen Gleichungslösung an die Geometrie No access
  7. Descartes hat nur positive Grössen – und keine Koordinaten No access
  8. Ergebnis No access
5. 1. Substanz, Attribut, Modus No access
  2. Zwei Substanzen No access
  3. Geometrie und Arithmetik bei Descartes No access
  4. Bewegung in der Mathematik No access
  5. Ein ontologischer Nachtrag No access
6. 1. Die Erfindung der Operationszeichen + und - No access
  2. Das cossische Rechnen No access
  3. Recorde oder: Die Erfindung des Gleichheitszeichens No access
  4. Viète oder: Rechnen mit geometrischen Figuren – nicht formal No access
  5. Eine weltgeschichtliche Analogie zu Descartes' Leistung No access
7. Die Anfänge von Descartes' Gleichungslehre No access
8. 1. Descartes' Leistung für die Grundlagen der Mathematik No access
  2. Warum also „Algebra“? No access
9. Zur philosophischen Bedeutung von Descartes' Leistung für die Mathematik No access
1. 1. Verschiedene Arten von Gleichungen No access
  2. Worin besteht das Problem bei Descartes? No access
  3. Descartes' Ablenkungsmanöver No access
2. 1. Der Gegenstand No access
  2. Die Bedeutung dieser Lösung des Descartes'schen Problems No access
  3. Eine Bewertung dieser Lösung No access
3. 1. Zu Leibniz' Begriff der Monade No access
  2. Leibniz' Begriff der Veränderung No access
  3. Leibniz' Begriff von (Raum und) Zeit No access
4. 1. Der junge Leibniz war Pythagoreer No access
  2. Ontologisch gefragt: Was ist die Zahl? No access
  3. Begrifflich gefragt: Wie ist „Zahl“ bestimmt? No access
  4. Das Verfahren der Größen- und der Zahlbestimmung No access
  5. Zur Deutungsgeschichte des Leibniz'schen Zahlbegriffs No access
  6. Zwei Schlussbemerkungen zu Leibniz' Zahlbegriff No access
5. 1. Die Quelle No access
  2. Aus dem Inhalt No access
  3. Das Konvergenzkriterium (ohne den Begriff der Konvergenz) No access
6. 1. Die Konstruktion No access
  2. Der Beweis No access
  3. Bedingungen an diesen Beweis No access
  4. Das Neuartige an diesem Beweis No access
  5. Der Preis des Neuartigen No access
7. 1. Die Quelle No access
  2. Das Kontinuitätsgesetz No access
  3. Unendlich kleine und unendlich große Größen – als „erdichtete“ No access
  4. Die Differenzialregeln No access
8. 1. Der Ausgangspunkt: Descartes' La Géométrie No access
  2. Leibniz' Erweiterungsprogramm No access
  3. Durch die Einführung der veränderlichen Größe wird das Kontinuum zu einem Gegenstand der Mathematik No access
  4. Transzendente Zahlen No access
  5. Das Kontinuum besteht nicht nur aus Zahlen No access
9. 1. Characteristica universalis No access
  2. Von Leibniz erfundene Symbolik No access
  3. Einige von Leibniz angeregte Konstruktionen und Begriffe No access
10. 1. Der Begriff der Veränderlichen No access
  2. Die „Stetigkeit“ der Veränderung No access
  3. Nochmals: Was ist für Leibniz eine Veränderliche? No access
11. 1. Das Indivisibel im scholastischen Kontinuumsbegriff No access
  2. Cavalieri No access
  3. Unverständnis No access
  4. Torricellis Indivisibeln No access
  5. Fermat, Roberval No access
  6. Fazit No access
12. Historiografischer Nachtrag II – die Stetigkeit des Kontinuums No access
13. 1. Newtons mathematische Grundbegriffe No access
  2. Newtons Verfahrensweise No access
  3. Newtons Fluxionsmethode: die „Methode der verschwindenden Größen“ No access
  4. Analyse No access
14. Rückblick No access
1. 1. Eine vage Diffusion von Ideen No access
  2. Leibniz' Publikation der Differenzialregeln No access
  3. Johann Bernoullis Differenzialkalkül No access
  4. Zusammenfassung: Der Wechsel von der Geometrie zur Algebra No access
  5. Die heftige Kontroverse zwischen Leibniz und Johann Bernoulli – vom geometrischen Differenzial zur unendlich kleinen Zahl? No access
  6. Ein Nachtrag zur kettenregel No access
2. 1. Veränderliche und Konstante No access
  2. l'Hospitals Begriff des Differenzials No access
  3. Die Forderung No access
  4. Differenzialregeln No access
  5. l'Hospital ist konsequenter als Johann Bernoulli No access
3. Die Weitergabe von Johann Bernoullis Differenzialkalkül No access
4. 1. Vorspiel No access
  2. Die Inthronisierung des wichtigsten Begriffs der Analysis: Funktion No access
  3. Eulers Algebra mit Größen No access
  4. Eulers Zahlbegriff No access
  5. Konvergenz No access
  6. Stetigkeit No access
  7. Eulers Denkmuster der Analysis: „Algebraische Analysis“ No access
5. 1. (1) d'Alemberts Begriff der Größe: eine Kritik an Euler No access
  2. (2) Der Begriff der Größenordnung No access
  3. (3) Die Taylorreihe in der Algebraischen Analysis – Lagrange No access
  4. (4) Das Konvergenzverständnis von Lacroix No access
6. 1. Johann Bernoullis Beitrag No access
  2. Eulers Denken der Algebraischen Analysis No access
1. Vom Wandel der Dinge No access
2. 1. Bolzanos Zielsetzung No access
  2. Bolzanos Durchführung seines Programms No access
  3. Bolzanos Funktionenlehre No access
3. 1. Das Programm No access
  2. Cauchys Stufenaufbau der Grundlagen der Analysis No access
  3. Veränderliche, Grenze, Irrationalzahlen, Funktion, Funktionswert und unendlich Kleine No access
  4. Stetigkeit und Konvergenz – die Definitionen No access
  5. Differenzenverhältnis und Ableitung No access
  6. Das Differenzial bei Funktionen einer Veränderlichen No access
  7. Das Integral No access
4. Rekapitulation der Revolution No access
1. 1. Niels Henrik Abel 1826 No access
  2. Zusammenfassende Bewertung von Abels Kritik No access
  3. Philipp Ludwig Seidel 1850 No access
2. 1. Ein einziger treuer Cauchy-Leser? No access
  2. Dirichlets zögerliche Position No access
  3. Riemanns klarer Schnitt beim Funktionsbegriff stößt das Tor zur Mengenlehre auf No access
  4. Riemann übersieht den Sachverhalt der gleichmäßigen Konvergenz No access
3. 1. Gleiche Bestimmungen von Stetigkeit und Konvergenz No access
  2. Zwei sehr unterschiedliche Funktionsbegriffe No access
  3. Ergebnis No access
4. 1. Cauchys ‚Grenzwertsprache‘ No access
  2. Riemanns ‚Epsilontik‘ No access
  3. ‚Epsilontik‘ contra ‚Grenzwertsprache‘ No access
  4. Missverständnisse No access
  5. Methodisches Fazit und eine fachliche Konsequenz No access
5. 1. Größe, Grenze, Kontinuum No access
  2. Der „Satz vom Verdichtungspunkt“ No access
  3. Weierstraß' Funktionsbegriff (im Wandel) No access
  4. Weierstraß' hartnäckige Arbeit am Zahlbegriff No access
  5. Ein veränderter Blick auf Weierstraß No access
1. 1. Hankels Bestandsaufnahme zum Begriff der irrationalen Zahl im Jahr 1867 No access
  2. Die Artikulation der Misere durch Eduard Heine No access
  3. Rückblick: Weierstraß' Konstruktion No access
  4. Cantors Blick auf Weierstraß' Konstruktion No access
  5. Cantors Deutung von Weierstraß' Konstruktion No access
2. 1. Cantor: Zahlgrößen im weiteren Sinne No access
  2. Eine Hierarchie neuer Zahlbereiche – Die Gleichheit No access
  3. Heines Versuch der Reduktion der Hierarchie No access
  4. Eine erste topologische Fassung des „Satzes von Bolzano-Weierstraß“ No access
3. 1. Logische Unterscheidungen No access
  2. Der ontologische Aspekt: Was ist „Zahl“? No access
  3. Was ist „Gleichheit“? No access
  4. Freges Kritik am formalen Zahlbegriff No access
  5. Woher und warum hat Heine den Begriff der „Zahl“ als „Zeichen“? No access
  6. Freges Ablehnung der neuen Relationen No access
  7. Was hat Frege übersehen? – Der analytische Zugewinn des neuen Zahlbegriffs No access
4. 1. Nochmals Cantor 1872: Der Bezug zur Geometrie No access
  2. Die Entstehung der Schrift No access
  3. Dedekinds Vorgehen: Eine Analogie von Arithmetik und Geometrie No access
  4. Die „Stetigkeit“ der geraden Linie No access
  5. Die Schöpfung der irrationalen Zahlen No access
  6. Reflexion No access
  7. Freges Kritik an Dedekinds Konstruktion No access
  8. Russells Glättung der Dedekind'schen Konstruktion No access
5. 1. Zwei Prinzipien No access
  2. „Fiktive Grenzen“ No access
  3. Rekapitulation und Einschätzung No access
  4. Drei Jahre später No access
6. 1. Welches neuen Konstruktionsmittels bedienen sich Cantor, Heine und Dedekind? – Die Einführung des „aktualen“ Unendlich in die Mathematik No access
7. 1. Rekapitulation der Herkunft des Cantor'schen Zahlbegriffs No access
  2. Die Ω-rationalen Zahlen No access
  3. Quasirationale Ω-Zahlen No access
  4. Anordnungen der Ω-rationalen Zahlen No access
  5. Drei verschiedene Arten des Größenvergleichs No access
  6. Grenzwerte für Ω-rationale Zahlen No access
  7. Warum nicht? No access
8. 1. Die Zielsetzung No access
  2. Der Ausgangspunkt No access
  3. Die Unterscheidung von „Vielheit“ und „kollektive Verbindung“ No access
  4. Zugängliche Zahlen No access
  5. Symbolische Zahlen No access
  6. Rechnen No access
  7. Zur Bedeutung des dekadischen Zahlensystems No access
  8. Ausblick No access
9. 1. „18 Axiome“ No access
  2. Pro und contra axiomatische Methode No access
10. 1. Das Neue am Zahlbegriff seit 1872 No access
  2. Sind die Ω-Zahlen die modernen Inkommensurablen? No access
  3. Das Verschwinden der „unendlich kleinen“ Größen aus der Analysis No access
  4. Die Abdankung des begrifflichen Denkens No access
  5. Willkürliches Denken No access
  6. Die Neugründung der Mathematik No access
1. 1. Eine erste Konsequenz für die Funktionenlehre über dem neuen Zahlbegriff No access
  2. Eine zweite Konsequenz No access
  3. Der Zwischenwertsatz No access
  4. Die gleichmäßige Stetigkeit No access
2. 1. Der Gegensatz zwischen Weierstraß' und Riemanns Funktionsbegriff No access
  2. Die Tradition der deutschsprachigen Literatur folgt Riemann No access
  3. Die französische Tradition No access
3. Der offizielle Entwicklungsstand des Funktionsbegriffs am 10. August 1899 No access
4. 1. Mathematik vom erkenntnistheoretischen Standpunkt aus No access
  2. Zwei grundlegende Sätze in der Sprache der Mengenlehre No access
  3. Die unabhängig Veränderliche No access
  4. Der Begriff der Funktion … No access
  5. Stetigkeit No access
  6. Das bestimmte Integral No access
  7. (3) : Die vernünftigen Funktionen No access
5. Zwischenbilanz im Jahr 1913 No access
6. 1. Nachtrag: Cantors Mengenbegriff No access
  2. „Funktion“ zwischen „Mengen“ No access
7. 1. Paschs Anfangsbegriffe No access
  2. Reihe und Menge No access
  3. Wert und Veränderliche No access
  4. Argument, Abhängigkeit und Funktion No access
  5. Zweierlei Stetigkeit No access
8. 1. Richtigkeit vor Plausibilität No access
  2. Der mengentheoretische Begriff „Funktion“ No access
  3. Drei verschiedene Begründungsweisen der ‚Mengen-Analysis‘: je nach Geschmack No access
  4. Topologie als Umgebungssystem No access
  5. Aus eins mach zwei: Von der „Grenze“ zu „Limes“ und „Häufungspunkt“ No access
  6. „Stetigkeit“ als topologischer Begriff No access
  7. Was der Punktmengen-Analysis nach Hausdorff fehlt No access
  8. Metrischer Raum No access
  9. Ein Fazit für ‚Epsilontik‘ und ‚Grenzwertsprache‘ No access
9. 1. Eine erste Monographie: Hahn 1921 No access
  2. Kurze Bemerkungen zur Lehrbuchliteratur No access
10. 1. Rückblick auf die Entwicklung des Funktionsbegriffs in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts No access
  2. Ontologische Standortbestimmung der heutigen Analysis No access
1. Umbrüche des mathematischen Denkens No access
2. Wie ist es um die Strenge der Mathematik bestellt? No access
3. 1. Beispiel Logik No access
  2. Beispiel Arithmetik No access
  3. Ein Drittes gibt es nicht No access
4. 1. Bolzano No access
  2. Dedekind und Cantor No access
5. Standard- und Nichtstandard-Analysis No access
6. 1. Die Macht der Geschichte No access
  2. Eine Lehre No access
  3. (Mathematische) Wahrheiten No access
  4. Zum Abschied No access
1. Literatur No access
2. Personen No access
3. Technik No access
4. Sachen No access