Die Analysis im Wandel und im Widerstreit

Detlef D. Spalt

doi:10.5771/9783495807859

Zusammenfassung

Titel wie „6000 Jahre Mathematik“, „5000 Jahre Geometrie“, „4000 Jahre Algebra“ und „3000 Jahre Analysis“ sind grundfalsch. Die Mathematik, mit der wir es zu tun haben, hat ihre Formierungsgeschichte in den letzten knapp 400 Jahren erfahren.

Diese Studie zeigt, wie heftig um jeden der Grundbegriffe der Mathematik (wie Zahl, Größe, Wert, Funktion, Differenzial) gerungen wurde, bis er in der heutigen Weise geprägt war. Es ist eine unendliche Geschichte um kleinste Details, die in kürzester Zeit im Streit durchfochten wurde und dennoch nicht ohne Vagheiten auskam, weil sich nichts Besseres finden ließ - für die Rechnung aber reichte es allemal.

Zugleich bedeutet die Darstellung der Analysis seit Descartes eine Würdigung der Arbeit der Mathematiker und deren Konsequenzen: den dramatischen Begriffs- und damit Bedeutungswandel grundlegender Lehrsätze der Analysis.

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Bibliographische Angaben

Copyrightjahr: 2016
ISBN-Print: 978-3-495-48740-2
ISBN-Online: 978-3-495-80785-9
Verlag: Karl Alber, Baden-Baden
Sprache: Deutsch
Seiten: 762
Produkttyp: Monographie

Inhaltsverzeichnis

KapitelSeiten

Titelei/Inhaltsverzeichnis Kein Zugriff Seiten i - xviii
Einleitung Kein Zugriff Seiten xix - xxviii
1. 1. Die geläufige Version Kein Zugriff
  2. Die tatsächliche Formulierung Kein Zugriff
2. Descartes' mathematische Großtat Kein Zugriff
3. 1. Das Ausgangsproblem Kein Zugriff
  2. Die »Regulae«: Rechnen mit Figuren Kein Zugriff
  3. Die Leistungsfähigkeit des menschlichen Denkens Kein Zugriff
  4. Descartes' Vorgehensweise Kein Zugriff
  5. Was sind Figuren, und wie soll mit ihnen verfahren werden? Kein Zugriff
  6. Descartes' Zielsetzung Kein Zugriff
4. 1. Die grundlegenden Konstruktionen Kein Zugriff
  2. Reflexion 1 Kein Zugriff
  3. Die bahnbrechende Erfindung Kein Zugriff
  4. Die Erfindung der rein formalen Gleichung Kein Zugriff
  5. Reflexion 2 Kein Zugriff
  6. Die Rückbindung der algebraisch gefundenen Gleichungslösung an die Geometrie Kein Zugriff
  7. Descartes hat nur positive Grössen – und keine Koordinaten Kein Zugriff
  8. Ergebnis Kein Zugriff
5. 1. Substanz, Attribut, Modus Kein Zugriff
  2. Zwei Substanzen Kein Zugriff
  3. Geometrie und Arithmetik bei Descartes Kein Zugriff
  4. Bewegung in der Mathematik Kein Zugriff
  5. Ein ontologischer Nachtrag Kein Zugriff
6. 1. Die Erfindung der Operationszeichen + und - Kein Zugriff
  2. Das cossische Rechnen Kein Zugriff
  3. Recorde oder: Die Erfindung des Gleichheitszeichens Kein Zugriff
  4. Viète oder: Rechnen mit geometrischen Figuren – nicht formal Kein Zugriff
  5. Eine weltgeschichtliche Analogie zu Descartes' Leistung Kein Zugriff
7. Die Anfänge von Descartes' Gleichungslehre Kein Zugriff
8. 1. Descartes' Leistung für die Grundlagen der Mathematik Kein Zugriff
  2. Warum also „Algebra“? Kein Zugriff
9. Zur philosophischen Bedeutung von Descartes' Leistung für die Mathematik Kein Zugriff
1. 1. Verschiedene Arten von Gleichungen Kein Zugriff
  2. Worin besteht das Problem bei Descartes? Kein Zugriff
  3. Descartes' Ablenkungsmanöver Kein Zugriff
2. 1. Der Gegenstand Kein Zugriff
  2. Die Bedeutung dieser Lösung des Descartes'schen Problems Kein Zugriff
  3. Eine Bewertung dieser Lösung Kein Zugriff
3. 1. Zu Leibniz' Begriff der Monade Kein Zugriff
  2. Leibniz' Begriff der Veränderung Kein Zugriff
  3. Leibniz' Begriff von (Raum und) Zeit Kein Zugriff
4. 1. Der junge Leibniz war Pythagoreer Kein Zugriff
  2. Ontologisch gefragt: Was ist die Zahl? Kein Zugriff
  3. Begrifflich gefragt: Wie ist „Zahl“ bestimmt? Kein Zugriff
  4. Das Verfahren der Größen- und der Zahlbestimmung Kein Zugriff
  5. Zur Deutungsgeschichte des Leibniz'schen Zahlbegriffs Kein Zugriff
  6. Zwei Schlussbemerkungen zu Leibniz' Zahlbegriff Kein Zugriff
5. 1. Die Quelle Kein Zugriff
  2. Aus dem Inhalt Kein Zugriff
  3. Das Konvergenzkriterium (ohne den Begriff der Konvergenz) Kein Zugriff
6. 1. Die Konstruktion Kein Zugriff
  2. Der Beweis Kein Zugriff
  3. Bedingungen an diesen Beweis Kein Zugriff
  4. Das Neuartige an diesem Beweis Kein Zugriff
  5. Der Preis des Neuartigen Kein Zugriff
7. 1. Die Quelle Kein Zugriff
  2. Das Kontinuitätsgesetz Kein Zugriff
  3. Unendlich kleine und unendlich große Größen – als „erdichtete“ Kein Zugriff
  4. Die Differenzialregeln Kein Zugriff
8. 1. Der Ausgangspunkt: Descartes' La Géométrie Kein Zugriff
  2. Leibniz' Erweiterungsprogramm Kein Zugriff
  3. Durch die Einführung der veränderlichen Größe wird das Kontinuum zu einem Gegenstand der Mathematik Kein Zugriff
  4. Transzendente Zahlen Kein Zugriff
  5. Das Kontinuum besteht nicht nur aus Zahlen Kein Zugriff
9. 1. Characteristica universalis Kein Zugriff
  2. Von Leibniz erfundene Symbolik Kein Zugriff
  3. Einige von Leibniz angeregte Konstruktionen und Begriffe Kein Zugriff
10. 1. Der Begriff der Veränderlichen Kein Zugriff
  2. Die „Stetigkeit“ der Veränderung Kein Zugriff
  3. Nochmals: Was ist für Leibniz eine Veränderliche? Kein Zugriff
11. 1. Das Indivisibel im scholastischen Kontinuumsbegriff Kein Zugriff
  2. Cavalieri Kein Zugriff
  3. Unverständnis Kein Zugriff
  4. Torricellis Indivisibeln Kein Zugriff
  5. Fermat, Roberval Kein Zugriff
  6. Fazit Kein Zugriff
12. Historiografischer Nachtrag II – die Stetigkeit des Kontinuums Kein Zugriff
13. 1. Newtons mathematische Grundbegriffe Kein Zugriff
  2. Newtons Verfahrensweise Kein Zugriff
  3. Newtons Fluxionsmethode: die „Methode der verschwindenden Größen“ Kein Zugriff
  4. Analyse Kein Zugriff
14. Rückblick Kein Zugriff
1. 1. Eine vage Diffusion von Ideen Kein Zugriff
  2. Leibniz' Publikation der Differenzialregeln Kein Zugriff
  3. Johann Bernoullis Differenzialkalkül Kein Zugriff
  4. Zusammenfassung: Der Wechsel von der Geometrie zur Algebra Kein Zugriff
  5. Die heftige Kontroverse zwischen Leibniz und Johann Bernoulli – vom geometrischen Differenzial zur unendlich kleinen Zahl? Kein Zugriff
  6. Ein Nachtrag zur kettenregel Kein Zugriff
2. 1. Veränderliche und Konstante Kein Zugriff
  2. l'Hospitals Begriff des Differenzials Kein Zugriff
  3. Die Forderung Kein Zugriff
  4. Differenzialregeln Kein Zugriff
  5. l'Hospital ist konsequenter als Johann Bernoulli Kein Zugriff
3. Die Weitergabe von Johann Bernoullis Differenzialkalkül Kein Zugriff
4. 1. Vorspiel Kein Zugriff
  2. Die Inthronisierung des wichtigsten Begriffs der Analysis: Funktion Kein Zugriff
  3. Eulers Algebra mit Größen Kein Zugriff
  4. Eulers Zahlbegriff Kein Zugriff
  5. Konvergenz Kein Zugriff
  6. Stetigkeit Kein Zugriff
  7. Eulers Denkmuster der Analysis: „Algebraische Analysis“ Kein Zugriff
5. 1. (1) d'Alemberts Begriff der Größe: eine Kritik an Euler Kein Zugriff
  2. (2) Der Begriff der Größenordnung Kein Zugriff
  3. (3) Die Taylorreihe in der Algebraischen Analysis – Lagrange Kein Zugriff
  4. (4) Das Konvergenzverständnis von Lacroix Kein Zugriff
6. 1. Johann Bernoullis Beitrag Kein Zugriff
  2. Eulers Denken der Algebraischen Analysis Kein Zugriff
1. Vom Wandel der Dinge Kein Zugriff
2. 1. Bolzanos Zielsetzung Kein Zugriff
  2. Bolzanos Durchführung seines Programms Kein Zugriff
  3. Bolzanos Funktionenlehre Kein Zugriff
3. 1. Das Programm Kein Zugriff
  2. Cauchys Stufenaufbau der Grundlagen der Analysis Kein Zugriff
  3. Veränderliche, Grenze, Irrationalzahlen, Funktion, Funktionswert und unendlich Kleine Kein Zugriff
  4. Stetigkeit und Konvergenz – die Definitionen Kein Zugriff
  5. Differenzenverhältnis und Ableitung Kein Zugriff
  6. Das Differenzial bei Funktionen einer Veränderlichen Kein Zugriff
  7. Das Integral Kein Zugriff
4. Rekapitulation der Revolution Kein Zugriff
1. 1. Niels Henrik Abel 1826 Kein Zugriff
  2. Zusammenfassende Bewertung von Abels Kritik Kein Zugriff
  3. Philipp Ludwig Seidel 1850 Kein Zugriff
2. 1. Ein einziger treuer Cauchy-Leser? Kein Zugriff
  2. Dirichlets zögerliche Position Kein Zugriff
  3. Riemanns klarer Schnitt beim Funktionsbegriff stößt das Tor zur Mengenlehre auf Kein Zugriff
  4. Riemann übersieht den Sachverhalt der gleichmäßigen Konvergenz Kein Zugriff
3. 1. Gleiche Bestimmungen von Stetigkeit und Konvergenz Kein Zugriff
  2. Zwei sehr unterschiedliche Funktionsbegriffe Kein Zugriff
  3. Ergebnis Kein Zugriff
4. 1. Cauchys ‚Grenzwertsprache‘ Kein Zugriff
  2. Riemanns ‚Epsilontik‘ Kein Zugriff
  3. ‚Epsilontik‘ contra ‚Grenzwertsprache‘ Kein Zugriff
  4. Missverständnisse Kein Zugriff
  5. Methodisches Fazit und eine fachliche Konsequenz Kein Zugriff
5. 1. Größe, Grenze, Kontinuum Kein Zugriff
  2. Der „Satz vom Verdichtungspunkt“ Kein Zugriff
  3. Weierstraß' Funktionsbegriff (im Wandel) Kein Zugriff
  4. Weierstraß' hartnäckige Arbeit am Zahlbegriff Kein Zugriff
  5. Ein veränderter Blick auf Weierstraß Kein Zugriff
1. 1. Hankels Bestandsaufnahme zum Begriff der irrationalen Zahl im Jahr 1867 Kein Zugriff
  2. Die Artikulation der Misere durch Eduard Heine Kein Zugriff
  3. Rückblick: Weierstraß' Konstruktion Kein Zugriff
  4. Cantors Blick auf Weierstraß' Konstruktion Kein Zugriff
  5. Cantors Deutung von Weierstraß' Konstruktion Kein Zugriff
2. 1. Cantor: Zahlgrößen im weiteren Sinne Kein Zugriff
  2. Eine Hierarchie neuer Zahlbereiche – Die Gleichheit Kein Zugriff
  3. Heines Versuch der Reduktion der Hierarchie Kein Zugriff
  4. Eine erste topologische Fassung des „Satzes von Bolzano-Weierstraß“ Kein Zugriff
3. 1. Logische Unterscheidungen Kein Zugriff
  2. Der ontologische Aspekt: Was ist „Zahl“? Kein Zugriff
  3. Was ist „Gleichheit“? Kein Zugriff
  4. Freges Kritik am formalen Zahlbegriff Kein Zugriff
  5. Woher und warum hat Heine den Begriff der „Zahl“ als „Zeichen“? Kein Zugriff
  6. Freges Ablehnung der neuen Relationen Kein Zugriff
  7. Was hat Frege übersehen? – Der analytische Zugewinn des neuen Zahlbegriffs Kein Zugriff
4. 1. Nochmals Cantor 1872: Der Bezug zur Geometrie Kein Zugriff
  2. Die Entstehung der Schrift Kein Zugriff
  3. Dedekinds Vorgehen: Eine Analogie von Arithmetik und Geometrie Kein Zugriff
  4. Die „Stetigkeit“ der geraden Linie Kein Zugriff
  5. Die Schöpfung der irrationalen Zahlen Kein Zugriff
  6. Reflexion Kein Zugriff
  7. Freges Kritik an Dedekinds Konstruktion Kein Zugriff
  8. Russells Glättung der Dedekind'schen Konstruktion Kein Zugriff
5. 1. Zwei Prinzipien Kein Zugriff
  2. „Fiktive Grenzen“ Kein Zugriff
  3. Rekapitulation und Einschätzung Kein Zugriff
  4. Drei Jahre später Kein Zugriff
6. 1. Welches neuen Konstruktionsmittels bedienen sich Cantor, Heine und Dedekind? – Die Einführung des „aktualen“ Unendlich in die Mathematik Kein Zugriff
7. 1. Rekapitulation der Herkunft des Cantor'schen Zahlbegriffs Kein Zugriff
  2. Die Ω-rationalen Zahlen Kein Zugriff
  3. Quasirationale Ω-Zahlen Kein Zugriff
  4. Anordnungen der Ω-rationalen Zahlen Kein Zugriff
  5. Drei verschiedene Arten des Größenvergleichs Kein Zugriff
  6. Grenzwerte für Ω-rationale Zahlen Kein Zugriff
  7. Warum nicht? Kein Zugriff
8. 1. Die Zielsetzung Kein Zugriff
  2. Der Ausgangspunkt Kein Zugriff
  3. Die Unterscheidung von „Vielheit“ und „kollektive Verbindung“ Kein Zugriff
  4. Zugängliche Zahlen Kein Zugriff
  5. Symbolische Zahlen Kein Zugriff
  6. Rechnen Kein Zugriff
  7. Zur Bedeutung des dekadischen Zahlensystems Kein Zugriff
  8. Ausblick Kein Zugriff
9. 1. „18 Axiome“ Kein Zugriff
  2. Pro und contra axiomatische Methode Kein Zugriff
10. 1. Das Neue am Zahlbegriff seit 1872 Kein Zugriff
  2. Sind die Ω-Zahlen die modernen Inkommensurablen? Kein Zugriff
  3. Das Verschwinden der „unendlich kleinen“ Größen aus der Analysis Kein Zugriff
  4. Die Abdankung des begrifflichen Denkens Kein Zugriff
  5. Willkürliches Denken Kein Zugriff
  6. Die Neugründung der Mathematik Kein Zugriff
1. 1. Eine erste Konsequenz für die Funktionenlehre über dem neuen Zahlbegriff Kein Zugriff
  2. Eine zweite Konsequenz Kein Zugriff
  3. Der Zwischenwertsatz Kein Zugriff
  4. Die gleichmäßige Stetigkeit Kein Zugriff
2. 1. Der Gegensatz zwischen Weierstraß' und Riemanns Funktionsbegriff Kein Zugriff
  2. Die Tradition der deutschsprachigen Literatur folgt Riemann Kein Zugriff
  3. Die französische Tradition Kein Zugriff
3. Der offizielle Entwicklungsstand des Funktionsbegriffs am 10. August 1899 Kein Zugriff
4. 1. Mathematik vom erkenntnistheoretischen Standpunkt aus Kein Zugriff
  2. Zwei grundlegende Sätze in der Sprache der Mengenlehre Kein Zugriff
  3. Die unabhängig Veränderliche Kein Zugriff
  4. Der Begriff der Funktion … Kein Zugriff
  5. Stetigkeit Kein Zugriff
  6. Das bestimmte Integral Kein Zugriff
  7. (3) : Die vernünftigen Funktionen Kein Zugriff
5. Zwischenbilanz im Jahr 1913 Kein Zugriff
6. 1. Nachtrag: Cantors Mengenbegriff Kein Zugriff
  2. „Funktion“ zwischen „Mengen“ Kein Zugriff
7. 1. Paschs Anfangsbegriffe Kein Zugriff
  2. Reihe und Menge Kein Zugriff
  3. Wert und Veränderliche Kein Zugriff
  4. Argument, Abhängigkeit und Funktion Kein Zugriff
  5. Zweierlei Stetigkeit Kein Zugriff
8. 1. Richtigkeit vor Plausibilität Kein Zugriff
  2. Der mengentheoretische Begriff „Funktion“ Kein Zugriff
  3. Drei verschiedene Begründungsweisen der ‚Mengen-Analysis‘: je nach Geschmack Kein Zugriff
  4. Topologie als Umgebungssystem Kein Zugriff
  5. Aus eins mach zwei: Von der „Grenze“ zu „Limes“ und „Häufungspunkt“ Kein Zugriff
  6. „Stetigkeit“ als topologischer Begriff Kein Zugriff
  7. Was der Punktmengen-Analysis nach Hausdorff fehlt Kein Zugriff
  8. Metrischer Raum Kein Zugriff
  9. Ein Fazit für ‚Epsilontik‘ und ‚Grenzwertsprache‘ Kein Zugriff
9. 1. Eine erste Monographie: Hahn 1921 Kein Zugriff
  2. Kurze Bemerkungen zur Lehrbuchliteratur Kein Zugriff
10. 1. Rückblick auf die Entwicklung des Funktionsbegriffs in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts Kein Zugriff
  2. Ontologische Standortbestimmung der heutigen Analysis Kein Zugriff
1. Umbrüche des mathematischen Denkens Kein Zugriff
2. Wie ist es um die Strenge der Mathematik bestellt? Kein Zugriff
3. 1. Beispiel Logik Kein Zugriff
  2. Beispiel Arithmetik Kein Zugriff
  3. Ein Drittes gibt es nicht Kein Zugriff
4. 1. Bolzano Kein Zugriff
  2. Dedekind und Cantor Kein Zugriff
5. Standard- und Nichtstandard-Analysis Kein Zugriff
6. 1. Die Macht der Geschichte Kein Zugriff
  2. Eine Lehre Kein Zugriff
  3. (Mathematische) Wahrheiten Kein Zugriff
  4. Zum Abschied Kein Zugriff
1. Literatur Kein Zugriff
2. Personen Kein Zugriff
3. Technik Kein Zugriff
4. Sachen Kein Zugriff